Soit la fonction h définie sur R h(x)= 3-|2-x| Détermine la restriction f de h a l'intervalle]-l'infini ,2]
Exercice : Restriction d'une fonction
On considère la fonction h définie sur ℝ par :
h(x) = 3 - |2 - x|
Tu dois déterminer la restriction de cette fonction h à l'intervalle ] -∞, 2 ], c'est-à-dire la nouvelle fonction f(x) = h(x) pour x ≤ 2.
Étape 1 : Comprendre la fonction h
La fonction h(x) est composée de deux parties : un nombre 3, auquel on soustrait la valeur absolue de (2 - x).
La valeur absolue |2 - x| correspond à la distance entre x et 2 sur la droite numérique.
Étape 2 : Étudier la définition de |2 - x|
La valeur absolue |2 - x| peut se simplifier selon que x est inférieur ou égal à 2 ou supérieur à 2 :
- Pour x ≤ 2, |2 - x| = 2 - x
- Pour x > 2, |2 - x| = x - 2
Étape 3 : Définir la fonction h(x) selon la valeur de x
Donc, pour x ≤ 2 :
h(x) = 3 - (2 - x) = 3 - 2 + x = 1 + x
Pour x > 2 :
h(x) = 3 - (x - 2) = 3 - x + 2 = 5 - x
Étape 4 : Restriction de h(x) à l'intervalle ] -∞, 2 ]
Sur cet intervalle, x ≤ 2, donc h(x) = 1 + x
Ainsi, la restriction f de h à l'intervalle ] -∞, 2 ] est donnée par :
f(x) = 1 + x pour x ≤ 2
Résumé : réponse finale
f(x) = 1 + x pour x ≤ 2
Petite vérification :
Par exemple, si x = 2, alors :
f(2) = 1 + 2 = 3
Et h(2) = 3 - |2 - 2| = 3 - 0 = 3, ce qui confirme la réponse.
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