Soit p un nombre entier naturel.en utilisant le raisonnement par l'absurde, démonter que si p2 est pair, alors est pair

Démonstration par l'absurde : si p² est pair, alors p est pair

Soit p un nombre entier naturel. Nous voulons montrer que si p² est pair, alors p est aussi pair.

Preuve par l'absurde :

1. Supposons le contraire : que p n'est pas pair. Autrement dit, p est impair.
2. Par définition, si p est impair, alors il peut s'écrire sous la forme : p = 2k + 1, où k est un entier naturel.
3. Calculons p² :
   p² = (2k + 1)² = (2k)² + 2 × 2k × 1 + 1² = 4k² + 4k + 1
4. On peut factoriser :
   p² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
5. Or, 2(2k² + 2k) est un nombre pair, et en ajoutant 1, on obtient un nombre impair.
6. Donc, p² est impair.