Les domaines de définition en mathématiques

Qu'est-ce qu'un domaine de définition ?

Le domaine de définition d'une expression ou d'une fonction est l'ensemble des valeurs de la variable (souvent x) pour lesquelles l'expression ou la fonction est définie. Autrement dit, ce sont toutes les valeurs que peut prendre la variable sans provoquer d'erreurs ou d'impossibilités.

Exemples simples

• Fonction f(x) = 1/x :
  • Elle n'est pas définie quand x = 0, car on ne peut pas diviser par zéro.
  • Le domaine de définition est alors : tous les nombres réels sauf 0.
• Expression g(x) = √(x - 3) :
  • La racine carrée n'est définie que pour un argument positif ou nul.
  • Donc, x - 3 ≥ 0 ⇨ x ≥ 3.
  • Le domaine est donc : tous les nombres réels tels que x ≥ 3.

Comment déterminer le domaine de définition d'une expression ?

1. Identifier les opérations qui limitent la définition : division par zéro, racines carrées de nombres négatifs, logarithmes de nombres négatifs ou nuls, etc.
2. Poser les inégalités en fonction de ces opérations.
3. Résoudre ces inégalités pour trouver le domaine.

Exercice d'application

Déterminez le domaine de définition de la fonction f(x) = (2x + 5) / (x - 1).

Indications

• La seule restriction vient du dénominateur.
• Il ne faut pas que le dénominateur soit nul : x - 1 ≠ 0.

Votre réponse :

Le domaine de définition est : tous les nombres réels sauf x = 1.

Vérification

Quel serait le domaine pour la fonction suivante :

h(x) = √(x + 4)

• Quelle restriction cela impose-t-elle ?
• Quelle est la solution ?