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Quiz 2

MathematiquesProduit scalaireLien avec l’angle entre deux vecteurs10 questions

Questions du quiz(10)

1

Soient u=(1,√3) et v=(2,0). Quel est l'angle entre u et v ?

30°
120°
45°
90°
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2

Calculer le produit scalaire de u = (3, -2) et v = (1, 4).

11
-5
16
7
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3

Si v = k·u pour un réel k, que vaut le produit scalaire u·v en fonction de k et de ||u|| ?

u·v = 0 uniquement lorsque u ou v est le vecteur nul
La relation u·v = k ||u||^2 est vérifiée seulement si v est colinéaire à u avec un facteur positif
u·v = k ||u||^2
u·v = ||u|| · ||v||
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4

Pour deux vecteurs u et v formant un angle θ, quelle formule relie leur produit scalaire et θ ?

u·v = ½(‖u+v‖² - ‖u‖² - ‖v‖²)
u·v = ||u|| · ||v|| · cos(θ)
Le produit scalaire est lié à la somme des produits des composantes, indépendamment de l'angle entre eux.
Le produit scalaire est proportionnel au sinus de l'angle entre les vecteurs, comme dans le cas du produit vectoriel en trois dimensions.
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5

L'expression u·v / ||v|| correspond à :

Le vecteur projeté sur v est ( (u·v)/||v||^2 ) v, et la valeur (u·v)/||v|| est simplement sa norme sans signe.
La projection de v sur u est (v·u)/||u||, ce qui est différent de l'expression donnée.
La projection vectorielle de u sur v est ( (u·v)/||v||^2 ) v. La valeur (u·v)/||v|| est un scalaire, non un vecteur.
La composante scalaire de u sur la direction de v (projection scalaire).
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6

Que vaut le produit scalaire u·u pour un vecteur u ?

u·u = ||u||²
u·u ≠ ||u||², sauf si u est le vecteur nul
u·u correspond à la norme du vecteur u
u·u = 1 si et seulement si u est un vecteur unitaire
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7

Quelle propriété distributive du produit scalaire est vraie ?

(u + v) · w = u · w + v · w
Le produit scalaire donne un vecteur, donc la formule u · (v + w) = u · v + u · w est fausse.
u · (v + w) = u · v - u · w
Le produit scalaire distribue uniquement sur la multiplication par un scalaire, pas sur la somme de vecteurs.
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8

Quelle condition sur le produit scalaire caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs u et v non nuls ?

u · v = 0
u · v ≠ 0 implique que les vecteurs sont parallèles.
u · v = ||u|| · ||v|| · cosθ
Le produit scalaire est commutatif : u · v = v · u
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9

Quelle relation liant normes et produit scalaire est correcte pour ||u + v||^2 ?

||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2(u · v)
||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2||u||·||v||
||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2(u · v)
||u + v||^2 = (||u|| + ||v||)^2
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10

Quelle est l'expression du produit scalaire de u=(x₁, y₁) et v=(x₂, y₂) dans une base orthonormée du plan ?

x₁·x₂ - y₁·y₂
x₁·x₂ · y₁·y₂
x₁·x₂ + y₁·y₂
L'aire du triangle formé par u et v est donnée par (1/2)·|x₁ y₂ - y₁ x₂|
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À propos de ce quiz

Matière
Mathematiques
Thème
Produit scalaire
Sous-thème
Lien avec l’angle entre deux vecteurs
Questions
10