Objectifs

• Écrire une suite d’opérations cohérente.
• Passer d’une matrice augmentée à une forme échelonnée.
• Remonter et contrôler dans le système initial.

Organiser les étapes de l’algorithme

L’algorithme du pivot de Gauss travaille sur une matrice augmentée. Il avance colonne après colonne dans la partie encore active : chercher un pivot non nul, permuter une ligne si nécessaire, éliminer en dessous, puis passer à l’étape suivante. Toutes les opérations portent sur les lignes entières. La normalisation du pivot à un est possible, mais n’est pas obligatoire.

flowchart TD
A[Matrice augmentee] --> B[Choisir une colonne active]
B --> C[Chercher un pivot non nul]
C --> D[Permuter si necessaire]
D --> E[Annuler en dessous]
E --> F[Avancer dans le tableau]
F --> G[Remonter et verifier]

Exercice fictif : la matrice commence par \(\left[\begin{array}{ccc|c}0&1&1&5\\1&1&1&6\\2&3&4&20\end{array}\right]\). Propose une première opération autorisée.

Effectuer l’élimination sans perdre les zéros

Avec un pivot de la colonne courante, on soustrait à chaque ligne inférieure le multiple adapté de la ligne du pivot. Les premières colonnes déjà éliminées restent nulles dans ces lignes. On écrit l’opération avant de calculer les nouvelles entrées : cela permet de repérer une erreur de signe.

Poursuis l’exercice fictif précédent jusqu’à une matrice triangulaire.

Remonter, vérifier et reconnaître une exception

La remontée résout les inconnues de la dernière ligne vers la première. Si l’échelonnement produit une ligne impossible, le système n’a pas de solution. Une ligne entièrement nulle exprime une information redondante ; elle ne prouve pas une contradiction. Un système avec des variables libres demande une écriture paramétrée, pas une division par zéro.

Résous le système triangulaire de l’exercice fictif, puis vérifie dans les équations initiales.

Erreurs fréquentes

Résumé

L’algorithme avance par pivots non nuls et transformations réversibles ; l’étude des dernières lignes puis la substitution établissent la conclusion.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.