Composée de deux fonctions : définition, notation et ensemble de définition

Mathématiques · Terminale · Thème : Composition des applications

Composer deux fonctions, c'est les enchaîner comme deux machines : on applique d'abord \(f\) à \(x\), puis \(g\) au résultat, et on note ce nouveau procédé \(g \circ f\).

Objectifs du cours

Définir la composée \(g \circ f\) de deux fonctions et lire correctement la notation.
Calculer une image \((g \circ f)(x)\) et une expression de \(g \circ f\).
Énoncer la condition sur les ensembles pour que \(g \circ f\) existe, et déterminer l'ensemble de définition de \(g \circ f\).
Constater que, en général, \(g \circ f \neq f \circ g\).
Décomposer une fonction en composée de fonctions simples.

Notions clés

1. L'idée : deux machines à la suite

On part d'un nombre \(x\). La première fonction \(f\) le transforme en \(f(x)\). La seconde fonction \(g\) prend \(f(x)\) comme entrée et donne \(g\big(f(x)\big)\).

flowchart LR
A[x] -->|f| B[f de x]
B -->|g| C[g de f de x]
A -.->|g rond f| C

2. Définition et notation

Pour des applications entre ensembles : si \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\), alors \(g \circ f : E \to G\), \(x \mapsto g\big(f(x)\big)\). La composée existe parce que les images de \(f\) tombent dans l'ensemble de départ de \(g\) : \(f(E) \subset F\).

Soit \(f(x) = x + 3\) et \(g(x) = x^2\). Que vaut \((g \circ f)(2)\) ?

On calcule d'abord \(f(2) = 5\), puis \(g(5) = 5^2 = 25\). La réponse 7 correspond à \((f \circ g)(2) = 2^2 + 3\).

3. Déterminer l'ensemble de définition de \(g \circ f\)

\[ D_{g \circ f} = \left\{ x \in D_f \ \middle|\ f(x) \in D_g \right\}. \]

Méthode en deux conditions :

\(x\) doit appartenir à \(D_f\) ;
\(f(x)\) doit appartenir à \(D_g\) : on traduit cette condition en inéquation ou en équation à exclure, puis on la résout.

Rappels utiles : \(\sqrt{X}\) existe pour \(X \geq 0\) ; \(\dfrac{1}{X}\) existe pour \(X \neq 0\) ; \(\ln(X)\) existe pour \(X > 0\).

Soit \(f(x) = x + 2\) sur \(\mathbb{R}\) et \(g(x) = \sqrt{x}\) sur \([0 ; +\infty[\). Quel est l'ensemble de définition de \(g \circ f\) ?

\([-2 ; +\infty[\)
\([0 ; +\infty[\)
\([2 ; +\infty[\)

\((g \circ f)(x) = \sqrt{x+2}\) existe si et seulement si \(x + 2 \geq 0\), c'est-à-dire \(x \geq -2\).

4. \(g \circ f\) et \(f \circ g\) sont en général différentes

Avec \(f(x) = 2x + 3\) et \(g(x) = x^2\), définies sur \(\mathbb{R}\) :

\begin{align} (g \circ f)(x) &= g(2x+3) = (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9, \\ (f \circ g)(x) &= f\left(x^2\right) = 2x^2 + 3 . \end{align}

Pour \(x = 1\) : \((g \circ f)(1) = 25\) mais \((f \circ g)(1) = 5\). Donc \(g \circ f \neq f \circ g\).

Fais varier \(a\) ci-dessous : la première courbe est \(x \mapsto \sqrt{x - a}\) (on retranche \(a\), puis on prend la racine), la seconde est \(x \mapsto \sqrt{x} - a\) (racine d'abord, puis on retranche \(a\)). Les deux enchaînements donnent des courbes et des ensembles de définition différents.

Pour deux fonctions \(f\) et \(g\) quelconques, a-t-on \(g \circ f = f \circ g\) ?

Oui, toujours.
Non, jamais.
Pas en général : cela dépend des fonctions.

L'égalité est fausse en général (exemple ci-dessus), mais elle peut être vraie pour certaines fonctions, par exemple si \(f = g\), ou avec \(f(x) = x + 1\) et \(g(x) = x + 2\).

5. Décomposer une fonction

Pour écrire \(h = g \circ f\), on cherche le dernier calcul effectué : c'est \(g\). Ce qui se trouve « à l'intérieur » est \(f\).

Fonction \(h\)	\(f\) (agit d'abord)	\(g\) (agit ensuite)
\(h(x) = \sqrt{3x+1}\)	\(f(x) = 3x + 1\)	\(g(x) = \sqrt{x}\)
\(h(x) = \left(x^2+1\right)^5\)	\(f(x) = x^2 + 1\)	\(g(x) = x^5\)
\(h(x) = \dfrac{1}{x-4}\)	\(f(x) = x - 4\)	\(g(x) = \dfrac{1}{x}\)
\(h(x) = \cos(2x)\)	\(f(x) = 2x\)	\(g(x) = \cos x\)

Comment écrire \(h(x) = (5x - 1)^3\) sous la forme d'une composée ?

\(h = f \circ g\) avec \(f(x) = 5x - 1\) et \(g(x) = x^3\)
\(h = g \circ f\) avec \(f(x) = 5x - 1\) et \(g(x) = x^3\)
\(h = g \circ f\) avec \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = 5x - 1\)

On calcule d'abord \(5x - 1\), puis on élève au cube : \(h(x) = g\big(f(x)\big)\) avec \(f(x) = 5x - 1\) et \(g(x) = x^3\). Les deux autres écritures donnent \(5x^3 - 1\).

Exemples résolus

Cherche d'abord chaque exercice, puis dévoile la correction.

Exemple 1 : composer dans les deux sens

\((g \circ f)(x) = g(x - 1) = \sqrt{x - 1}\). Conditions : \(x \in \mathbb{R}\) et \(x - 1 \geq 0\), donc \(D_{g \circ f} = [1 ; +\infty[\).

\((f \circ g)(x) = f\left(\sqrt{x}\right) = \sqrt{x} - 1\). Conditions : \(x \geq 0\) (pour \(g\)) et \(\sqrt{x} \in \mathbb{R}\) (toujours vrai pour \(f\)), donc \(D_{f \circ g} = [0 ; +\infty[\).

Vérification avec \(x = 4\) : \((g \circ f)(4) = \sqrt{3}\) et \((f \circ g)(4) = 2 - 1 = 1\). Les deux composées sont différentes.

Exemple 2 : une composée avec un quotient

Voir la solution

\(x \in \mathbb{R}\) et il faut \(f(x) \neq 0\), c'est-à-dire \(x^2 - 4 \neq 0\).

\[ x^2 - 4 = 0 \iff (x-2)(x+2) = 0 \iff x = 2 \ \text{ou} \ x = -2 . \]

Donc \(D_{g \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}\) et, pour tout \(x\) de cet ensemble, \((g \circ f)(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}\).

Exemple 3 : deux conditions à combiner

Première condition, \(x \in D_f\) : \(x \neq 0\).

Deuxième condition, \(f(x) \in D_g\) : \(\dfrac{1}{x} \geq 0\). Un quotient de numérateur 1 (positif) est positif quand le dénominateur est strictement positif : \(x > 0\).

En combinant : \(D_{g \circ f} = \left]0 ; +\infty\right[\) et \((g \circ f)(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x}}\).

Exemple 4 : la condition sur les images

Voir la solution

Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\), donc \(f(x) = x^2 + 1 \geq 1\) : toutes les images de \(f\) sont dans \([1 ; +\infty[\), l'ensemble de départ de \(g\). La composée est donc définie sur \(\mathbb{R}\) :

\[ (g \circ f)(x) = \sqrt{\left(x^2 + 1\right) - 1} = \sqrt{x^2} = |x| . \]

Attention : \(\sqrt{x^2} = |x|\) et non \(x\), car une racine carrée est toujours positive.

Erreurs fréquentes

Inverser l'ordre : \(g \circ f\) signifie « \(f\) d'abord, \(g\) ensuite ».
Confondre composée et produit : \((g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)\), ce n'est pas \(g(x) \times f(x)\).
Oublier la condition \(x \in D_f\) et ne garder que \(f(x) \in D_g\).
Croire que \(g \circ f = f \circ g\) : c'est faux en général.
Écrire \(\sqrt{x^2} = x\) : on a \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Récapitulatif

\((g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)\) : \(f\) agit d'abord, \(g\) ensuite ; on lit « \(g\) rond \(f\) ».
Pour des applications \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\), \(g \circ f : E \to G\) ; il faut que les images de \(f\) soient dans l'ensemble de départ de \(g\).
\(D_{g \circ f} = \left\{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \right\}\).
En général, \(g \circ f \neq f \circ g\).
Décomposer \(h\) : le dernier calcul effectué est \(g\), ce qui est à l'intérieur est \(f\).

\(g \circ f\)

La fonction \(x \mapsto g\big(f(x)\big)\) : \(f\) d'abord, \(g\) ensuite.

Ensemble de définition de \(g \circ f\)

Les \(x\) de \(D_f\) tels que \(f(x) \in D_g\).

Condition d'existence

Les images de \(f\) doivent être dans l'ensemble de départ de \(g\).

\(g \circ f\) et \(f \circ g\)

Différentes en général : composer n'est pas commutatif.

Décomposer \(h\)

Le dernier calcul est \(g\) ; ce qui est à l'intérieur est \(f\).