La racine carrée choisit le nombre non négatif dont le carré redonne le nombre de départ.

Racine carrée : définition et propriétés

Objectifs

Définir une racine réelle.
Utiliser la valeur absolue.
Appliquer les propriétés avec leurs conditions.

Une valeur définie et non négative

Pour un réel \(a\geq0\), \(\sqrt a\) est l’unique réel non négatif dont le carré vaut \(a\). Ainsi \((\sqrt a)^2=a\). Dans les réels, la racine n’est pas définie si \(a<0\). Il faut vérifier la non-négativité de l’expression sous le radical.

Donnée fictive : un jardin carré a une aire de \(81\,\mathrm{m^2}\). Quelle est la longueur du côté ?

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Chercher \(c\geq0\) tel que \(c^2=81\).

Comme \(9^2=81\), \(c=\sqrt{81}=9\,\mathrm m\).

Le nombre \(-9\) a le même carré, mais ce n’est ni \(\sqrt{81}\) ni une longueur.

Que vaut \(\sqrt{49}\) ?

\(7\)
\(-7\)
\(7\) et \(-7\) à la fois

Le symbole désigne une seule valeur, non négative.

Carré, racine et valeur absolue

Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\). La valeur absolue vaut \(x\) si \(x\geq0\), et \(-x\) si \(x<0\). En revanche \((\sqrt x)^2=x\) exige \(x\geq0\).

Calcule \(\sqrt{(-6)^2}\), puis donne le domaine de \(\sqrt{2x-6}\).

Voir la solution après avoir cherché

\((-6)^2=36\), puis \(\sqrt{36}=6=|-6|\).

Pour la deuxième expression : \(2x-6\geq0\).

On obtient \(x\geq3\), soit \([3;+\infty[\).

Pour \(x=-4\), que vaut \(\sqrt{x^2}\) ?

\(-4\)
\(4\)
La racine n’existe pas

Le carré vaut \(16\), dont la racine principale vaut \(4\).

Produits, quotients et ordre

Pour \(a,b\geq0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\). Si \(a\geq0\) et \(b>0\), \(\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b\). Sur les réels non négatifs, la racine est strictement croissante : \(a<b\) donne \(\sqrt a<\sqrt b\).

Compare \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{15}\), puis calcule \(\sqrt{9\times16}\).

Voir la solution après avoir cherché

Comme \(0\leq12<15\), \(\sqrt{12}<\sqrt{15}\).

\(\sqrt{9\times16}=\sqrt9\sqrt{16}=3\times4=12\).

Vérification : \(12^2=144=9\times16\).

Déplace le repère a : la droite horizontale indique sa racine. Observe que la courbe monte quand l’abscisse augmente.

Quelles conditions conviennent à \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) dans les réels ?

\(a\geq0,\ b>0\)
\(a<0,\ b=0\)
Aucune

Les radicaux doivent exister et le dénominateur être non nul.

Erreurs fréquentes

Résumé

Vérifie le domaine, garde la valeur non négative et écris les conditions avant chaque propriété.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Définition

\(\sqrt a\geq0\) et \((\sqrt a)^2=a\), si \(a\geq0\).

Carré sous racine

\(\sqrt{x^2}=|x|\).

Produit

\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\), si \(a,b\geq0\).

Quotient

\(\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b\), si \(a\geq0,b>0\).

Croissance

La racine conserve l’ordre des réels non négatifs.