Dériver une fonction composée : la règle de la chaîne
Dériver une fonction composée : la règle de la chaîne
Mathématiques · Terminale · Thème : Composition des applications
Pour dériver \(g \circ f\), on multiplie la dérivée de la fonction « intérieure » \(f\) par la dérivée de la fonction « extérieure » \(g\), calculée en \(f(x)\) : \((g \circ f)' = f' \times (g' \circ f)\).
Objectifs du cours
- Énoncer la règle de la chaîne et ses conditions d'application.
- Comprendre sa démonstration à partir du taux d'accroissement.
- En déduire les formules usuelles : \(\left(u^n\right)'\), \(\left(\sqrt{u}\right)'\), \(\left(\mathrm{e}^u\right)'\), \(\left(\ln u\right)'\), \(\left(\cos u\right)'\), \(\left(\sin u\right)'\).
- Dériver des compositions de deux ou trois fonctions, et utiliser le résultat pour une tangente ou une vitesse.
Notions clés
1. L'intuition : des vitesses qui se multiplient
Pour \(y = g(u)\) avec \(u = f(x)\) : quand \(x\) varie un peu, \(u\) varie environ \(f'(x)\) fois plus vite ; et quand \(u\) varie, \(y\) varie environ \(g'(u)\) fois plus vite. Au total, \(y\) varie environ \(f'(x) \times g'\big(f(x)\big)\) fois plus vite que \(x\).
flowchart LR A[x] -->|f fois f prime| B[u egale f de x] B -->|g fois g prime| C[y egale g de u] A -.->|produit| C
2. Énoncé de la règle de la chaîne
Cas très fréquent, \(f(x) = ax + b\) : la dérivée de \(x \mapsto g(ax + b)\) est \(x \mapsto a\, g'(ax + b)\).
Quelle condition garantit que \(g \circ f\) est dérivable en \(a\) ?
3. Démonstration
On note \(b = f(a)\) et on suppose \(g\) définie sur un intervalle contenant les valeurs \(f(a+h)\) pour \(h\) proche de 0. On définit, pour \(k\) proche de 0 :
\[ \varphi(k) = \begin{cases} \dfrac{g(b+k) - g(b)}{k} & \text{si } k \neq 0, \\ g'(b) & \text{si } k = 0. \end{cases} \]4. Les formules usuelles
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). On applique la règle avec \(f = u\) :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n\) entier, \(n \geq 1\)) | \(n\, u'\, u^{n-1}\) | aucune |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) sur \(I\) |
| \(\dfrac{1}{u}\) | \(-\dfrac{u'}{u^2}\) | \(u \neq 0\) sur \(I\) |
| \(\mathrm{e}^{u}\) | \(u'\, \mathrm{e}^{u}\) | aucune |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) sur \(I\) |
| \(\cos u\) | \(-u' \sin u\) | aucune |
| \(\sin u\) | \(u' \cos u\) | aucune |
Fais varier \(a\) : la première courbe est \(x \mapsto \sin(ax)\), la seconde est sa dérivée \(x \mapsto a \cos(ax)\). Plus \(a\) est grand, plus la courbe oscille vite et plus les pentes sont fortes : le facteur \(a\) vient de la dérivée de la fonction intérieure \(x \mapsto ax\).
Quelle est la dérivée de \(x \mapsto (2x+5)^3\) ?
Quelle est la dérivée de \(x \mapsto \mathrm{e}^{3x^2}\) ?
5. Compositions multiples
Pour \(h = w \circ v \circ u\), en appliquant deux fois la règle :
\[ h'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big) \times w'\Big(v\big(u(x)\big)\Big). \]Méthode : on dérive de l'extérieur vers l'intérieur, en gardant à chaque fois ce qu'il y a dedans, et on multiplie toutes les dérivées obtenues.
Quelle est la dérivée de \(x \mapsto \sqrt{1 + \cos x}\) sur un intervalle où \(1 + \cos x > 0\) ?
Exemples résolus
Cherche d'abord chaque exercice, puis dévoile la correction.
Exemple 1 : une puissance
Exemple 2 : une racine et une tangente
Voir la solution
Avec \(u = 2x + 1 > 0\) et \(u' = 2\) :
\[ f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} . \]En \(x = 4\) : \(f(4) = \sqrt{9} = 3\) et \(f'(4) = \dfrac{1}{3}\). La tangente a pour équation \(y = f'(4)(x - 4) + f(4)\) :
\[ y = \frac{1}{3}(x - 4) + 3 = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} . \]Exemple 3 : trois fonctions enchaînées
Exemple 4 : un carré de sinus
Voir la solution
Trois étapes : \(x \mapsto 3x\), puis \(\sin\), puis le carré. De l'extérieur vers l'intérieur :
\[ k'(x) = 2\sin(3x) \times \cos(3x) \times 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) . \]Avec la formule \(2\sin a \cos a = \sin(2a)\), on peut aussi écrire \(k'(x) = 3\sin(6x)\).
Exemple 5 : la vitesse des ronds dans l'eau
Voir la solution
L'aire en fonction du temps est la composée \(t \mapsto A\big(r(t)\big)\) avec \(A(r) = \pi r^2\), donc \(A'(r) = 2\pi r\), et \(r'(t) = 2\).
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A\big(r(t)\big) = r'(t) \times 2\pi\, r(t) = 2 \times 2\pi \times 2t = 8\pi t . \]À \(t = 3\) : \(8\pi \times 3 = 24\pi \approx 75{,}4~\text{cm}^2\) par seconde. Contrôle : \(A\big(r(t)\big) = 4\pi t^2\), dont la dérivée est bien \(8\pi t\).
Erreurs fréquentes
- Oublier la dérivée intérieure \(u'\) : \(\left(\mathrm{e}^{5x}\right)' = 5\mathrm{e}^{5x}\), pas \(\mathrm{e}^{5x}\).
- Mal placer \(u'\) : \(\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) et non \(\dfrac{1}{2\sqrt{u'}}\).
- Oublier un maillon dans une composition de trois fonctions : il faut autant de facteurs que de fonctions enchaînées.
- Oublier les conditions : \(\sqrt{u}\) n'est dérivable que là où \(u > 0\), et \(\ln u\) que là où \(u > 0\).
- Oublier le signe moins de \(\left(\cos u\right)' = -u' \sin u\).
Récapitulatif
- Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(g\) dérivable en \(f(a)\) : \((g \circ f)'(a) = f'(a) \times g'\big(f(a)\big)\).
- La démonstration passe par une fonction auxiliaire \(\varphi\), continue en 0, qui évite de diviser par \(f(a+h) - f(a)\).
- Formules : \(\left(u^n\right)' = n u' u^{n-1}\), \(\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), \(\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\mathrm{e}^u\), \(\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}\), \(\left(\cos u\right)' = -u'\sin u\), \(\left(\sin u\right)' = u'\cos u\).
- Pour plusieurs fonctions enchaînées : on dérive de l'extérieur vers l'intérieur et on multiplie toutes les dérivées.
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