Les conditions d’existence et de signe éliminent les fausses solutions.

Racines carrées : équations et inéquations

Objectifs

Résoudre une équation du carré.
Contrôler une équation avec racine.
Utiliser une substitution et une inéquation.

Distinguer racine et équation du carré

Pour \(x^2=a\) : si \(a<0\), aucune solution réelle ; si \(a=0\), seule la valeur \(0\) ; si \(a>0\), les solutions sont \(-\sqrt a\) et \(\sqrt a\). Le symbole \(\sqrt a\) désigne seulement la valeur non négative.

Résous \(x^2=18\).

Voir la solution après avoir cherché

\(18>0\) : garder les deux signes.

\(\sqrt{18}=3\sqrt2\).

Les solutions sont \(-3\sqrt2\) et \(3\sqrt2\). Leur carré vaut bien \(18\).

Combien de solutions réelles possède \(x^2=-9\) ?

Aucune
Une
Deux

Un carré réel n’est pas négatif.

Isoler, contrôler les signes et vérifier

Commence par le domaine, isole la racine et contrôle le signe de l’autre membre. Élever au carré conserve une égalité, mais peut ajouter des candidats si les signes ne sont pas contrôlés. Remplace chaque candidat dans l’équation de départ.

flowchart LR
A[Domaine et signes] --> B[Isoler la racine]
B --> C[Elever au carre]
C --> D[Resoudre]
D --> E[Verifier au depart]

Résous \(\sqrt{x+3}=x-3\).

Voir la solution après avoir cherché

Il faut \(x+3\geq0\) et \(x-3\geq0\), car une racine est non négative. On retient \(x\geq3\).

Le carré donne \(x+3=(x-3)^2\), soit \(x^2-7x+6=0\).

\((x-1)(x-6)=0\) donne \(1\) et \(6\). La condition élimine \(1\).

Pour \(6\), \(\sqrt9=3=6-3\). La seule solution est \(6\).

Pourquoi rejeter le candidat \(1\) ?

\(\sqrt4=2\), mais \(1-3=-2\)
On rejette toujours le plus petit
Toute racine est strictement positive

Les membres initiaux ont des signes opposés.

Changer d’inconnue et résoudre une inéquation

Poser \(t=\sqrt x\) impose \(x\geq0\) et \(t\geq0\). Une équation en \(x\) et sa racine devient une équation en \(t\), en gardant la contrainte. Pour une inéquation entre deux réels non négatifs, le carré conserve l’ordre.

Résous \(x-\sqrt x-2=0\), puis \(\sqrt{x+1}\leq3\).

Voir la solution après avoir cherché

Poser \(t=\sqrt x\geq0\). Alors \(t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0\).

Seul \(t=2\) convient. Donc \(x=4\) et \(4-2-2=0\).

Pour l’inéquation, \(x\geq-1\) est nécessaire. Les deux membres sont non négatifs.

On obtient \(x+1\leq9\), donc \(x\leq8\). L’ensemble solution est \([-1;8]\).

Quelle contrainte accompagne \(t=\sqrt x\) ?

\(t\geq0\)
\(t<0\)
Aucune

Le nouveau nombre représente une racine principale, donc reste non négatif.

Erreurs fréquentes

Résumé

Écris domaine et signes, résous, puis vérifie chaque candidat dans le problème initial.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Domaine

Valeurs qui rendent chaque expression définie.

Équation du carré

\(x^2=a>0\) donne \(x=\pm\sqrt a\).

Candidat

Valeur transformée à contrôler dans l’équation initiale.

Substitution

\(t=\sqrt x\) impose \(t\geq0\).

Inéquation

Le carré conserve l’ordre entre deux réels non négatifs.