Extraire les carrés, regrouper les mêmes racines et utiliser les conjugués garde les valeurs exactes.

Racines carrées : identités et manipulations

Objectifs

Extraire un facteur carré.
Réduire des radicaux semblables.
Rationaliser un dénominateur.

Extraire un facteur carré

Pour \(k,b\geq0\), \(\sqrt{k^2b}=k\sqrt b\). Cherche un facteur carré parfait sous le radical, puis applique la propriété du produit.

flowchart LR
A[Nombre sous racine] --> B[Chercher facteur carre parfait]
B --> C[Separer le produit]
C --> D[Extraire sa racine]

Simplifie \(\sqrt{72}\) et vérifie ton résultat.

Voir la solution après avoir cherché

\(72=36\times2\), où \(36\) est un carré parfait.

\(\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2\).

\((6\sqrt2)^2=36\times2=72\), et \(6\sqrt2\geq0\).

Quelle expression vaut \(\sqrt{48}\) ?

\(4\sqrt3\)
\(16\sqrt3\)
\(4+\sqrt3\)

\(48=16\times3\), donc sa racine vaut \(4\sqrt3\).

Réduire des termes compatibles

La distributivité permet \(u\sqrt b+v\sqrt b=(u+v)\sqrt b\), pour \(b\geq0\). Simplifie d’abord les radicaux pour voir s’ils deviennent semblables. Des racines différentes ne s’additionnent pas en fusionnant leurs radicandes.

Réduis \(\sqrt{50}+2\sqrt8-\sqrt2\).

Voir la solution après avoir cherché

\(\sqrt{50}=5\sqrt2\) et \(\sqrt8=2\sqrt2\).

On obtient \(5\sqrt2+4\sqrt2-\sqrt2=(5+4-1)\sqrt2\).

La forme réduite est \(8\sqrt2\).

Peut-on écrire \(\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5\) ?

Le carré du membre de gauche vaut \(5+2\sqrt6\), pas \(5\).

Utiliser les conjugués

Rationaliser change l’écriture, pas la valeur. Multiplie numérateur et dénominateur par un même nombre non nul. Les conjugués \(u+v\) et \(u-v\) donnent \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\).

Rationalise \(\frac3{\sqrt5}\), puis \(\frac1{2+\sqrt3}\).

Voir la solution après avoir cherché

\(\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}\), en multipliant par \(\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1\).

\(\frac1{2+\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\).

Le dénominateur vaut \(4-3=1\). Le résultat est \(2-\sqrt3\).

Vérification : \((2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1\). Les dénominateurs utilisés sont non nuls.

Quel est le conjugué utile de \(3+\sqrt2\) ?

\(3-\sqrt2\)
\(-3-\sqrt2\)
\(3+\sqrt2\)

Leur produit donne \(9-2=7\).

Erreurs fréquentes

Résumé

Vérifie domaines et dénominateurs, choisis une transformation justifiée puis contrôle sa valeur.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Extraction

\(\sqrt{k^2b}=k\sqrt b\), si \(k,b\geq0\).

Termes semblables

Les mêmes radicaux se regroupent par leurs coefficients.

Conjugués

\((u+v)(u-v)=u^2-v^2\).

Rationaliser

Réécrire sans racine au dénominateur en multipliant par une forme de un.

Vérifier

Contrôler la valeur et les conditions.