Échanger des lignes réordonne les équations ; échanger des colonnes impose de suivre l’ordre des inconnues.

Pivot partiel et permutations

Objectifs

Expliquer le choix d’un pivot partiel.
Effectuer une permutation de lignes complète.
Distinguer pivot partiel et échanges de colonnes.

Pourquoi comparer les modules des pivots ?

Le pivot partiel cherche, dans la colonne active restante, un coefficient de plus grande valeur absolue et permute les lignes pour le placer au pivot. Dans l’élimination qui suit, les multiplicateurs ont alors une valeur absolue au plus égale à un. Cette propriété ne supprime pas tous les problèmes numériques ; elle justifie une stratégie préférable au choix automatique du premier coefficient.

Exercice fictif : le système a pour matrice augmentée \(\left[\begin{array}{cc|c}0{,}001&1&1{,}001\\1&1&2\end{array}\right]\). Compare les deux premiers pivots possibles.

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Si on garde \(0{,}001\), le multiplicateur pour éliminer le coefficient \(1\) vaut \(1000\).

Après échange des lignes, le pivot vaut \(1\) et le multiplicateur vaut \(0{,}001\).

En calcul exact, la solution est \((1,1)\) dans les deux cas : \(0{,}001+1=1{,}001\) et \(1+1=2\). Le choix du pivot porte ici sur le comportement du calcul approché.

Le pivot partiel choisit-il le nombre le plus proche de zéro ?

Il choisit le plus grand module disponible dans la colonne active, pour éviter notamment de grands multiplicateurs.

Permuter des lignes : les équations changent d’ordre

Une permutation de lignes déplace les coefficients et le second membre ensemble. L’ordre des inconnues reste inchangé. Dans le pivot partiel, on ne cherche que dans la colonne courante, parmi les lignes encore disponibles ; les lignes déjà traitées ne sont pas remélangées.

Exercice fictif : \(\left[\begin{array}{cc|c}0&2&4\\1&3&7\end{array}\right]\), inconnues dans l’ordre \((x,y)\). Applique un pivot partiel dans la première colonne.

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Le coefficient \(1\) est le seul candidat non nul. On échange les deux lignes.

On obtient \(\left[\begin{array}{cc|c}1&3&7\\0&2&4\end{array}\right]\). La deuxième ligne donne \(y=2\), puis la première donne \(x=1\).

Vérification dans l’ordre initial : \(2\times2=4\) et \(1+3\times2=7\).

Une permutation de lignes échange-t-elle les rôles de \(x\) et \(y\) ?

Elle réordonne les équations. Les inconnues changeraient de place avec une permutation de leurs colonnes.

Permuter des colonnes : suivre les inconnues

Une permutation de colonnes de la matrice des coefficients change l’ordre des inconnues. Il faut noter cet ordre, ne pas échanger la colonne du second membre avec une colonne d’inconnue, puis restituer les résultats dans l’ordre initial. Le pivot complet peut choisir un coefficient de plus grand module dans toute la sous-matrice active, d’où des échanges de lignes et de colonnes. Ce n’est pas le pivot partiel.

flowchart TD
A[Permutation] --> B[Lignes : equations]
A --> C[Colonnes : inconnues]
B --> D[Deplacer aussi second membre]
C --> E[Noter puis restaurer ordre]

Reprends \(\left[\begin{array}{cc|c}0&2&4\\1&3&7\end{array}\right]\). Un pivot complet choisit ici \(3\). Que deviennent le tableau et l’ordre des inconnues ?

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On échange les lignes puis les deux colonnes de coefficients. Le tableau devient \(\left[\begin{array}{cc|c}3&1&7\\2&0&4\end{array}\right]\), dans l’ordre \((y,x)\).

Avec \(L_2\leftarrow L_2-\frac23L_1\), la dernière ligne devient \((0,-\frac23\mid-\frac23)\). Elle donne \(x=1\), pas \(y=1\).

La première équation donne \(3y+1=7\), donc \(y=2\). On restitue la solution dans l’ordre initial : \((x,y)=(1,2)\).

Après échange des colonnes de \(x\) et \(y\), que faut-il conserver ?

L’ordre initial sans aucune annotation
Le nouvel ordre des inconnues pour restituer correctement les résultats
Seulement le plus grand nombre du tableau

Les étiquettes des colonnes sont indispensables pour ne pas inverser les valeurs des inconnues.

Erreurs fréquentes

Résumé

Le choix du pivot organise les divisions et les arrondis ; le suivi des lignes, colonnes et inconnues garantit le sens de la solution.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.

Pivot partiel

Choix dans la colonne active restante.

Multiplicateur

Rapport du coefficient à éliminer au pivot.

Permutation de lignes

Réordonne les équations entières.

Permutation de colonnes

Réordonne les inconnues et leurs coefficients.

Pivot complet

Choix dans toute la sous-matrice active, avec suivi des colonnes.