Objectifs

• Échelonner une matrice augmentée.
• Compter les pivots.
• Relier rang, compatibilité et nombre de solutions.

Échelonner et compter les pivots

La matrice des coefficients \(A\) contient les nombres multipliant les inconnues ; la matrice augmentée \([A\mid b]\) ajoute le second membre. Les opérations élémentaires sur les lignes préservent les solutions : échange, multiplication par un nombre non nul, ajout d’un multiple d’une autre ligne. Dans une forme échelonnée, les pivots se décalent vers la droite et les lignes nulles sont en bas. Le rang est le nombre de pivots, donc de lignes non nulles après échelonnement.

Échelonne \(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&2&6\end{array}\right]\).

Existence : repérer une contradiction

Une ligne \([0\ \cdots\ 0\mid c]\) avec \(c\ne0\) signifie \(0=c\) : le système n’a aucune solution. Un système est compatible lorsque le rang de \(A\) est égal à celui de \([A\mid b]\). On distingue toujours les coefficients et le second membre.

Remplace maintenant le second membre de la deuxième équation par \(7\) : \(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&2&7\end{array}\right]\).

Unicité, liberté et géométrie

Pour un système compatible à \(n\) inconnues, si le rang vaut \(n\), la solution est unique. Si le rang est inférieur à \(n\), des variables sont libres : sur les réels, il existe une infinité de solutions. Avec deux inconnues, des droites sécantes donnent un point commun ; des droites confondues donnent une infinité de points ; des parallèles distinctes n’en donnent aucun.

Le graphique montre \(y=3-x\) et \(y=x+b\). Prédis leur intersection pour \(b=-1\), puis déplace le curseur.

Résous \(x+y=3\) et \(x-y=1\), puis interprète le rang.

Erreurs fréquentes

Résumé

Échelonne, cherche une contradiction, puis compare le nombre de pivots et le nombre d’inconnues.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner les cartes.