Exercice corrigé
Introduction à la convergence vers l’espérance avec Bernoulli
FacileTleMathematiquesConcentration, loi des grands nombresConvergence vers l’espérance avec la taille de l’échantillon
3 questions : réponds, demande un indice si tu bloques, la correction s'affiche dès que tu as trouvé.
Expérience Bernoulli p=0,5 répétée n fois; X_i iid; μ = 0,5 et σ^2 = 0,25. La moyenne empirique est \(\bar{X}_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) et Var(\(\bar{X}_n\)) = σ^2/n = 0,25/n. On peut écrire aussi une borne de Chebyshev: \(P(|\bar{X}_n - μ| \ge ε) ≤ \dfrac{Var(\bar{X}_n)}{ε^2} = \dfrac{0,25}{n ε^2}\).
Question 1
Dans X_i ~ Bernoulli(p=0,5), quelles sont l'espérance μ et la variance σ^2 de X_i ?
Question 2
Utiliser l'inégalité de Chebyshev pour bound P(|\bar{X}_n - μ| ≥ ε) avec n=100 et ε=0,1.
Réponds d'abord à la question précédente.
Question 3
Que dit la loi faible des grands nombres, selon l'exemple ci-dessus ?
Réponds d'abord à la question précédente.